1.2 布尔代数的定律和定理

布尔代数是数字电子学中数字逻辑所使用的一种数学代数形式。代数由对陈述（通常是数学陈述）的符号表示组成。同样，布尔代数中也存在表达式、方程和函数。

任何逻辑设计的主要目标是尽可能简化逻辑，以便最终实现变得简单。为了简化逻辑，必须简化表示该逻辑的布尔方程和表达式。

因此，为了简化布尔方程和表达式，提出了一些定律和定理。使用这些定律和定理，可以非常容易地简化或减少任何布尔表达式或函数的逻辑复杂性。

本文展示了布尔代数中一些最常用的定律和定理。

基本布尔代数定律及证明

布尔代数系统的这些基本规则和定律被称为“布尔代数定律”。布尔代数的一些基本定律（规则）包括：

i. 结合律
ii. 分配律
iii. 交换律
iv. 吸收律
v. 共识律

结合律

加法的结合律
陈述：
加法的结合律表明，对两个以上的变量进行“或”运算，即对变量进行数学加法运算，无论方程中变量的分组方式如何，返回的值都相同。它涉及在组内交换变量。

使用“或”运算符的结合律可以写为：

$A + (B + C) = (A + B) + C$

证明：
如果 $A$、$B$ 和 $C$ 是三个变量，那么将3个变量每2个一组进行分组，将有3种类型，分别是 $(A + B)$、$(B + C)$ 和 $(C + A)$。

根据结合律：

$(A + B + C) = (A + B) + C = A + (B + C) = B + (C + A)$

我们知道，$A + AB = A$（根据吸收律）。

现在假设 $x = A + (B + C)$ 和 $y = (A + B) + C$。

根据结合律，我们需要证明 $x = y$。

现在，求 $Ax = A [ A + (B + C) ]$

$= AA + A (B + C)$ $= A + AB + AC \quad \text{（因为 } AA = A\text{）}$ $= (A + AB) + AC$ $= A + AC \quad \text{（因为 } A + AB = A\text{）}$ $= A \quad \text{（因为 } A + AC = A\text{）}$

因此，$Ax = A$。

同样地，对于 $Bx = B [ A + (B + C) ]$

$= AB + B (B + C)$ $= AB + BB + BC$ $= AB + B + BC \quad \text{（因为 } BB = B\text{）}$ $= (B + BC) + AB$ $= B + AB \quad \text{（因为 } B + BC = B\text{）}$ $= B \quad \text{（因为 } B + AB = B\text{）}$

使用上述方程，我们可以得出 $A$、$B$、$C$ 与“+”运算符之间的关系，当乘以其他变量（如 $x$）时不会改变，例如 $xy = yx = x = y$。

$yx = ((A + B) + C) x$ $= (A + B) x + Cx$ $= (Ax + Bx) + Cx$ $= (A + B) + C$ $= y$ $xy = (A + (B + C)) y$ $= Ay + (B + C) y$ $= Ay + (By + Cy)$ $= A + (B + C)$ $= x$

因此，$x = y$，这意味着 $A + (B + C) = (A + B) + C = B + (A + C)$。

示例：
取三个变量 0、1 和 0，则

根据结合律，

$(0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0)$ $1 + 0 = 0 + 1$ $1 = 1$

因此，结合律得到验证。

因此，结合律得到证明，$(A + B + C) = (A + B) + C = A + (B + C) = B + (C + A)$。

乘法的结合律

陈述：
乘法的结合律表明，对两个以上的变量进行“与”运算，即对变量进行数学乘法运算，无论方程中变量的分组方式如何，返回的值都相同。

使用“与”运算符的结合律可以写为：

$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$

分配律

这是布尔代数中使用最频繁且最重要的定律，涉及两个运算符：“与”和“或”。

陈述1：
两个变量相乘，然后将结果与另一个变量相加，其结果与将该变量分别与两个变量相加后再相乘的结果相同。

换句话说，两个变量进行“与”运算，然后与另一个变量进行“或”运算，等同于该变量分别与两个变量进行“或”运算后再进行“与”运算。

分配律可以写为：

$A + BC = (A + B)(A + C)$

这被称为“或”对“与”的分配。

证明：
如果 $A$、$B$ 和 $C$ 是三个变量，则

$A + BC = A \cdot 1 + BC \quad \text{（因为 } A \cdot 1 = A\text{）}$ $= A (1 + B) + BC \quad \text{（因为 } 1 + B = 1\text{）}$ $= A \cdot 1 + AB + BC$ $= A \cdot (1 + C) + AB + BC \quad \text{（因为 } A \cdot A = A \cdot 1 = A\text{）}$ $= A \cdot (A + C) + B (A + C)$ $= (A + C) (A + B)$ $A + BC = (A + B) (A + C)$

因此，分配律得到证明。

陈述2：
两个变量相加，然后将结果与另一个变量相乘，其结果与将该变量分别与两个变量相乘后再相加的结果相同。

换句话说，两个变量进行“或”运算，然后与另一个变量进行“与”运算，等同于该变量分别与两个变量进行“与”运算后再进行“或”运算。

分配律可以写为：

$A (B + C) = (A B) + (A C)$

这被称为“与”对“或”的分配。

证明：

$A (B + C) = A (B \cdot 1) + A (C \cdot 1) \quad \text{（因为 } 1 \cdot B = B, 1 \cdot C = C\text{）}$ $= [(AB) \cdot (A \cdot 1)] + [(AC) \cdot (A \cdot 1)]$ $= [(AB) \cdot A] + [(AC) \cdot A]$ $= (A + 1) (AB + AC)$ $= (AB + AC) \quad \text{（因为 } 1 + A = 1\text{）}$

因此，分配律得到证明。

示例：
取三个变量 0、1 和 0，则

根据分配律，

$0 \cdot (1 + 0) = (0 \cdot 1) + (0 \cdot 0)$ $0 \cdot 1 = (0) + (0)$ $0 = 0$

因此，分配律得到验证。

交换律

陈述：
交换律表明，在布尔方程中交换操作数的顺序不会改变其结果。

使用“或”运算符：$A + B = B + A$
使用“与”运算符：$A \cdot B = B \cdot A$

这条定律在布尔代数中也具有较高的优先级。

示例：
取两个变量 1 和 0，则

$1 + 0 = 0 + 1$ $1 = 1$

同样地，

$1 \cdot 0 = 0 \cdot 1$ $0 = 0$

吸收律
吸收律涉及一对二元运算的链接。

i. $A + AB = A$
ii. $A(A + B) = A$
iii. $A + \overline{A}B = A + B$
iv. $A(\overline{A} + B) = AB$

第3条和第4条定律也被称为冗余定律。

陈述1：$A + AB = A$
证明：

$A + AB = A \cdot 1 + AB \quad (\text{因为 } A \cdot 1 = A)$

$= A(1 + B) \quad (\text{因为 } 1 + B = 1)$ $= A \cdot 1$ $= A$

陈述2：$A(A + B) = A$
证明：

$A(A + B) = A \cdot A + A \cdot B$

$= A + AB \quad (\text{因为 } A \cdot A = A)$ $= A(1 + B)$ $= A \cdot 1$ $= A$

陈述3：$A + \overline{A}B = A + B$
证明：

$A + \overline{A}B = (A + \overline{A})(A + B) \quad (\text{根据分配律 } A + BC = (A + B)(A + C))$

$= 1 \cdot (A + B) \quad (\text{因为 } A + \overline{A} = 1)$ $= A + B$

陈述4：$A(\overline{A} + B) = AB$
证明：

$A(\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + AB$

$= AB \quad (\text{因为 } A \cdot \overline{A} = 0)$

布尔代数中的对偶原理

陈述：
对偶原理指出：“通过对换表达式中的AND运算符与OR运算符，并替换二进制变量（如将1替换为0，将0替换为1），可以得到表达式的对偶形式。”
此定律表明，替换变量并不会改变布尔函数的值。

但在交换变量名称时，我们也必须交换二进制运算符。“如果方程或函数中的运算符和变量在交换后不会改变方程的输出，则它们被称为‘对偶’。”

对偶原理也被称为“德摩根对偶性”，它指出：“在布尔代数中交换对偶对将得到方程的相同输出。”

存在一种特殊的对偶操作，称为“自对偶”。自对偶操作将输入传递到输出，而不对其进行任何更改。因此，它也被称为“无操作”。

示例：
如果我们有布尔方程 $A + B = 0$，那么通过将变量0替换为1，并将OR运算符替换为AND运算符，形成的方程是 $A \cdot B = 1$。这意味着这两个布尔函数都表示逻辑电路的操作。

根据对偶原理，如果 $A$ 和 $B$ 是两个变量，那么在相同逻辑电路的情况下，方程 $A + B = 0$ 和 $A \cdot B = 1$ 都是成立的。

使用对偶原理简化布尔函数
示例：
使用对偶概念简化布尔函数的示例：

$(A + \overline{B}C) = A'B C + A'B C' + A'B'C'$ $= A'B(C + C') + (\overline{B} + \overline{B})A'C'$ $= A' B + A' C'----->(1)$

对等式的两边取反，方程变为

$(A + B' C) = (A + B') (A + C) ----->(2)$

如果我们观察方程1和2，可以发现与和运算符与或运算符被互换。因此，对偶定理得以证明。

布尔函数可以通过最大项（SOP）和最小项（POS）方法进行简化，这基于对偶原理。

SOP方法即“与 - 或”表达式。在此方法中，布尔变量的最大项被写成它们的与 - 或形式。

POS方法即“或 - 与”表达式。在此方法中，布尔变量的最小项被写成它们的或 - 与形式。

我们将在后续的教程中简要讨论这些主题。

德摩根定理

布尔代数涉及二进制加法、二进制减法、二进制除法和二进制乘法。与这些基本定律类似，布尔代数系统还依赖于另一个重要的定理，即德摩根定律。

这也可以被称为德摩根定理。该定律基于对偶的概念。对偶是指在函数中交换运算符和变量，例如将0替换为1，1替换为0，与运算符替换为或运算符，或运算符替换为与运算符。

德摩根定律可以视为对偶原理的扩展。德摩根提出了两个定理，它们有助于我们在数字电子学中解决代数问题。

德摩根定理的表述如下：

定理1： “合取的否定是各否定的析取”。或者可以表述为“两个变量乘积的补等于各个变量补的和”。

$(A \cdot B)' = A' + B'$

定理2： “析取的否定是各否定的合取”。或者可以表述为“两个变量和的补等于各个变量补的乘积”。

$(A + B)' = A' \cdot B'$

真值表 德摩根定律可以通过真值表进行简单解释。

德摩根第一定律（$(A \cdot B)' = A' + B'$）的真值表如下：

因此，德摩根第一定律也可以表述为“非（A与B）等于（非A）或（非B）”。

德摩根第二定律（$(A + B)' = A' \cdot B'$）的真值表如下：

因此，德摩根第二定律也可以表述为“非（A或B）等于（非A）与（非B）”。

德摩根定理在逻辑门中的应用

德摩根定理可以通过基本逻辑门（如与门和或门）进行证明。

对于定理1：$(A \cdot B)' = A' + B'$

与非门（与门在输出端连接一个非门）的输出等于在或门输入端连接两个非门形成的门的输出。可以表述为：

与非门 = 带气泡的或门

对于定理2：$(A + B)' = A' \cdot B'$

或非门（或门在输出端连接一个非门）的输出等于在与门输入端连接两个非门形成的门的输出。可以表述为：

或非门 = 带气泡的与门

让我们通过一些例子来理解德摩根定理如何用于简化布尔方程。

例1：

使用德摩根定理简化以下布尔方程。

$F = (((A \cdot \overline{B})') \cdot (\overline{B} + C))'$

解：

给定 $F = (((A \cdot \overline{B})') \cdot (\overline{B} + C))'$

$= (((A \cdot \overline{B})'))' + ((\overline{B} + C))'$ $= (A \cdot \overline{B}) + (\overline{\overline{B}} \cdot \overline{C})$ $= (A \cdot \overline{B}) + (B \cdot \overline{C})$

因此，给定方程的简化形式为 $F = (A \cdot \overline{B}) + (B \cdot \overline{C})$。

例2：

简化设计不佳的逻辑电路，并求出输出方程的简化布尔表达式。

解：

在给定电路中，输出方程为：

$F_2 = ((\overline{A} + C) \cdot (\overline{AB}))'$ $= ((\overline{A} + C)') + (\overline{AB})''$ $= ((\overline{A} + C)') + AB$ $= (\overline{\overline{A}} \cdot \overline{C}) + AB$ $= (A \cdot \overline{C}) + AB$

因此，给定电路的简化输出为 $F_2 = (A \cdot \overline{C}) + (AB)$。

共识定理

共识定理是布尔代数中用于求解和简化布尔函数的一个重要定理。

定理表述

共识定理指出，当函数中的项互为补项（例如 $A$ 和 $\overline{A}$）时，析取的共识项被定义。共识定理以两种形式表述（标准形式及其对偶形式），分别是：

$AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ $(A + B)(\overline{A} + C)(B + C) = (A + B)(\overline{A} + C)$

共识定理的证明

定理1：$AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$

$AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C + BC \cdot 1$ $= AB + \overline{A}C + BC (A + \overline{A}) \quad \text{（因为 $A + \overline{A} = 1$）}$ $= AB + \overline{A}C + ABC + \overline{A}BC$ $= AB (1 + C) + \overline{A}C (1 + B)$ $= AB + \overline{A}C \quad \text{（因为 $1 + B = 1 + C = 1$）}$

例题

使用共识定理证明 $A'BD' + BCD + ABC' + AB'D = BC'D' + AD + A'BC$

解：

$A'BD' + BCD + ABC' + AB'D = A'BD' + BCD + ABC' + AB'D + A'BC + BC'D' + ABD$ $= AD + A'BD' + BCD + ABC' + A'BC + BC'D'$ $= AD + A'BC + BC'D'$

共识定理的对偶形式

共识定理的对偶形式表述如下：

$(A + B)(B + C)(\overline{A} + C) = (A + B)(\overline{A} + C)$

证明

步骤1：化简方程的左边

$(A + B)(B + C)(\overline{A} + C) = ((A + B)(B + C))(\overline{A} + C)$ $= (AB + AC + BB + BC)(\overline{A} + C)$ $= (AB + AC + B + BC)(\overline{A} + C)$ $= (AB + AC + (B + BC))(\overline{A} + C)$ $= (AB + AC + B)(\overline{A} + C)$ $= (B + AB + AC)(\overline{A} + C)$ $= ((B + AB) + AC)(\overline{A} + C)$ $= (B + AC)(\overline{A} + C)$ $= A'B + BC + AA'C + ACC$ $= A'B + BC + 0 + AC$ $= A'B + BC + AC$

步骤2：化简方程的右边

$(A + B)(\overline{A} + C) = AA' + A'B + AC + BC$ $= 0 + A'B + AC + BC$ $= A'B + AC + BC$

现在可以看到，右边等于左边。

因此，共识定理的对偶形式得以证明

香农展开定理

著名的理论家和数学家克劳德·香农在研究布尔代数函数简化的过程中提出了几条公式，这些公式被称为香农展开定理。它们用于围绕单个变量展开布尔函数。

定理1：

$f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = A_i \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 1, \ldots, A_n) + \overline{A_i} \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 0, \ldots, A_n)$

例：

$f(A, B, C, D, E, F) = C \cdot f(A, B, 1, D, E, F) + \overline{C} \cdot f(A, B, 0, D, E, F)$

定理2：

$f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = [A_i + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)] \cdot [\overline{A_i} + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 1, \ldots, A_n)]$

例：

$f(A, B, C, D, E, F) = [C + f(A, B, 0, D, E, F)] \cdot [\overline{C} + f(A, B, 1, D, E, F)]$

使用香农展开定理简化布尔函数

练习1： 使用香农展开定理展开给定的布尔函数。

$f(A, B, C, D) = A \overline{B} + (A C + B) D$

解：给定函数为

$f(A, B, C, D) = A \overline{B} + (A C + B) D$ $= A [1 \cdot \overline{B} + (1 \cdot C + B) D] + \overline{A} [0 \cdot \overline{B} + (0 \cdot C + B) D]$ $= A [\overline{B} + (C + B) D] + \overline{A} [B D]$ $= A \overline{B} + A (C + B) D + \overline{A} B D$

练习2： 使用香农展开定理展开给定的布尔函数。

$f(A, B, C, D) = \overline{A} C + (B + A D) C$

解：给定函数为

$f(A, B, C, D) = \overline{A} C + (B + A D) C$ $= A [\overline{1} \cdot C + (B + 1 \cdot D) C] + A [\overline{0} \cdot C + (B + 0 \cdot D) C]$ $= A [0 \cdot C + (B + D) C] + A [1 \cdot C + (B + 0 \cdot D) C]$ $= A (B + D) C + \overline{A} (C + B C)$

香农化简定理

香农化简定理用于围绕单个变量化简布尔函数。

定理1：

$A_i \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = A_i \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 1, \ldots, A_n)$

$A_i + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = A_i + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 0, \ldots, A_n)$

例：

$B \cdot f(A, B, C, D, E, F) = B \cdot f(A, 1, C, D, E, F)$

$B + f(A, B, C, D, E, F) = B + f(A, 0, C, D, E, F)$

定理2：

$\overline{A_i} \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = \overline{A_i} \cdot f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 0, \ldots, A_n)$

$\overline{A_i} + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = \overline{A_i} + f(A_1, A_2, A_3, \ldots, 1, \ldots, A_n)$

例：

$\overline{B} \cdot f(A, B, C, D, E, F) = \overline{B} \cdot f(A, 0, C, D, E, F)$

$\overline{B} + f(A, B, C, D, E, F) = \overline{B} + f(A, 1, C, D, E, F)$

使用香农化简定理简化布尔函数

练习1： 使用香农化简定理展开给定的布尔函数。

$f(A, B, C, D) = A [ \overline{A} (B + C) + (A + D)]$

解：给定函数为

$f(A, B, C, D) = A [\overline{A} (B + C) + (A + D)]$ $= A \cdot [1' (B + C) + (1 + D)]$ $= A \cdot [0 (B + C) + (1 + D)]$ $= A D$

练习2： 使用香农化简定理展开给定的布尔函数。

$f(A, B, C, D) = A + \overline{A} B + A \overline{C} (B + C) (B + D)$

解：给定函数为

$f(A, B, C, D) = A + \overline{A} B + A \overline{C} (B + C) (B + D)$ $= A + 0' B + 0 \overline{C} (B + C) (B + D)$ $= A + 1 \cdot B$ $= A + B$